Adaptive Mesh에 대해 이해했다면, 이제 정확한 S parameter Sweep법을 익히도록 하자!

Single Frequency ( = Center Frequency = Adaptive Frequency)

Adaptive 과정에서 Single Frequency라는 입력항목이 있을 것이다. 이것은 단지 mesh를 나누는 기준 주파수의 의미 뿐 아니라, Fast Sweep시에 해석 정확도에 지대한 영향을 준다. 다시 말해서, 상당히 신중하게 정해져야 하므로 해석의 중심 주파수로서의 역할을 잘 이해할 필요가 있다.

Adaptive 과정의 관점에서 본다면, mesh는 해석 주파수의 파장과 직접적인 관련을 가진다는 점에 주목할 필요가 있다. 고로 해석하고자 하는 주파수 범위에서 가장 높은 쪽으로 Single Frequency를 정하는 것이 일반적인 권장사항이다. 예를 들어 1.8~2.3 Ghz 사이의 결과가 필요하다면, 2.3Ghz로 Single Frequency를 정하는 식이다.

그런데 Sweep의 관점에서 본다면 약간 말이 달라질 수 있다. Fast Sweep에서는 Single Freq.를 중심으로 정확도가 집중되기 때문에, Sweep을 위해서라면 해석하고자 하는 주파수대역의 정 중앙의 값을 선택하는 것이 올바르다. 이것은 분명히 딜레마의 일종이며, FEM solver를 설계하는 사람들의 큰 고민거리중 하나이다.

그렇다면 어떤 주파수 설정이 가장 올바른 것인가? 과연 Adaptive mesh과정과 Fast Sweep 중에서 어떤 부분에 포커스를 맞추어야 하는 것일까? 이 문제에 대한 해답은 많은 HFSS 유저들의 경험적인 결론으로 대략 설명되어 질 수 있다. 일단 HFSS는 수년간의 개량과 연구개발로 중심주파수가 어디냐에 따라 발생하는 결과값의 오차는 상당히 작아졌다. 고로 적당선에서 case by case로 결정된다 가정하에 아래와 같이 결론지을 수 있다.

만약 넓은 주파수 대역을 풀어야 한다면, 분명 최고 주파수를 Single Freq. 로 정하는 것이 유리하며, 좁은 주파수 대역을 해석하는 경우에는 주파수 대역의 중앙을 Single Freq.로 정하는 것이 유리하다. 그 원인은 대략 추측이 가능하겠지만, 광대역에서 중심주파수를 Single Freq.로 정한다면 높은 주파수 대역에서 mesh가 정밀하지 못하여 결과의 신뢰성이 떨어지게 될 것이다. 반대로 좁은 주파수 대역이라면 보통 관심있는 주파수 point가 정해져 있으니, 굳이 최대 주파수로 맞출 것이 아니라 원하는 중심 주파수를 입력해도 무방할 것이다. 예를 들어 1~4Ghz대역을 해석한다면 4Ghz를, 1.8~1.9Ghz를 해석한다면 1.85Ghz를 Single Freq.로 정하는 식이다.

아래의 그래프는 광대역에서 Single Freq.에 따른 결과형태를 나타낸 사례이다. 광대역 특성이 필요한 RF connector로서, 전체 주파수는 1~20Ghz까지 해석하였다. 왼쪽은 Single Freq.를 중앙의 10Ghz로, 오른쪽은 최대주파수인 20Ghz에 맞춘 경우인데, 두 개의 그래프가 판이하게 다르다는 것을 알 수 있다. (물론 이것은 일부러 최악의 상황을 예를 든 것이다) 왼쪽의 경우 10Ghz 이상에서는 그래프 특성이 완전히 망가지고 있으며, 오른쪽에서는 실제 측정치와 아주 유사하게 나오게 되었다.

  Sing Freq. = 10Ghz                                   Sing Freq. = 20Ghz

유념해야 할 사실은 자신이 해석하고자 하는 구조물이 협대역에서 급격한 특성변화가 일어나느냐, 아니면 광대역에서 완만한 특성변화가 일어나느냐를 잘 따져봐야 한다는 점이다. 그러한 특성에 따라 해석가능한 주파수 대역이 결정될 것이며, 그에 따라 Single Freq.를 어떤 값으로 주어야 하는지에 대해서도 결정할 기준이 만들어질 것이다. 다행이라면 HFSS상에서 대부분의 구조물은 Single Freq.의 위치에 대한 결과값 변동이 그리 크진 않다는 점이다. 도저히 어떻게 해야할지 기준이 서지 않는 초심자라면, 일단 너무 넓지 않은 주파수 범위에서 해석을 하되, Single Freq.를 최대 주파수쪽에 맞추고 하는 것을 우선적으로 권장한다.

Fast Sweep

HFSS에서 사용하는 Fast Sweep의 원리는, Single Freq.에서 계산된 구조 MATRIX에서 다른 주파수 범위로 interpolation을 통해 그 특성을 확장시키는 방식이다. 다시말해서, 제시된 주파수 범위 전체를 훑어가며 촘촘히 풀어보는 것이 아니라, Single Freq.의 결과를 기준으로 위아래 양쪽 끝의 결과를 추출하고 그사이의 값들을 수치해석적으로 추출하는 방식이다. Fast Sweep이 아닌 Discrete Sweep을 이용하면 주어진 주파수 point를 하나하나 일일이 계산하기 때문에 시간이 Fast Sweep의 수십배 이상 걸리기 때문에 고안된 방법이다.

예를 들어 1~2 Ghz 사이에 step이 99라면, 100point 주파수 점에서의 S 파라미터 결과가 필요하게 되는데, Discrete Sweep은 그것을 모든 주파수 point에서 일일이 풀 게 된다. 그러나 Fast Sweep을 사용하면 2~3개 주파수 point에서 계산한 정도의 시간만으로도 전체 주파수 영역에서의 결과값이 추출된다. 지금의 경우라면 Fast Sweep과 Discrete Sweep의 계산시간 차이는 약 40배정도 차이날 것이며, 효율에 있어서 엄청난 차이가 나기 때문에 Fast Sweep을 사용하지 않을 수 없게 된다. 아래의 그래프는 동일한 Filter 구조에 Fast Sweep을 한 경우(왼쪽)과 그냥 Discrete Sweep을 한 경우(오른쪽)의 결과비교표이다. 보다시피 급격한 변동이 있는 패턴임에도 불구하고 결과의 차이는 거의 없다. 물론 이것은 협대역 해석이기 때문에 더욱 그렇지만, 시간의 차이 때문에 Fast Sweep을 쓰지 않을 수가 없다.

     Fast Sweep (계산시간 : 7분)                         Discret Sweep (계산시간 : 5시간)

그런데 언뜻 들으면 Fast Sweep 방식이 무식하게 일일이 계산하는 방식보다 정확도가 많이 떨어져 보일 수 있다. 하지만 Fast Sweep에 대한 알고리즘은 상당히 완성도가 높아서 생각한 것만큼 오차가 아주 큰 것은 아니다. 특히 협대역에서 해석할 때는 그 정확도 차이는 매우 적다. 계산 원리 자체에서 추측이 가능하겠지만, 이 문제는 광대역으로 해석해야 할 경우에 주로 문제가 된다. 만약 꼭 광대역의 결과값이 필요한데 Error Function이 모든 주파수 대역의 정확도를 보장해 주지 못한다면, 여러 대역별로 끊어서 해석하고 그 결과값들을 알아서 연결해서 봐야 하는 경우도 발생할 수 있다.

HFSS에서는 v5.0까지 AWE 알고리즘을 사용하다 v6.0부터는 보다 개선된 ALPS 알고리즘을 사용하고 있으며, ALPS알고리즘을 통해 이전보다 광대역에서의 Error Function 문제가 많이 개선되었다. 그리고 한가지 덧붙일 만한 것은, Discrete Sweep은 정해진 주파수 point(step)만큼 전부 계산하기 때문에 step지정을 얼마로 하느냐에 따라 계산시간이 정비례하지만, Fast Sweep에서는 Point 수에 의한 계산시간차이가 별로 없다. 어차피 interpolation 후에 만들어진 그래프수식에서 몇걔의 point좌표만 읽어오면 되느냐의 문제이기 때문이다.

Error Function

Fast Sweep을 실행하고 나면 결과 format 중에 Error Function이라는 항목이 생기는데, 이것이 바로 Fast Sweep으로 인해 발생한 에러텀을 주파수대역별로 plot한 값이다. 이 값은 Fast Sweep 과정중에 발생하는 simulation적인 예측 오차를 기반으로 생성되는데, 통상적으로 Error Function 값이 -20dB라면 곧 1/100 정도의 에러가 나는 것으로 볼 수 있다. 이 그래프를 통해 알 수 있는 것은, 현재 수행된 Fast Sweep 결과가 어느 정도 범위 내에서 정확도를 유지하고 있는가 하는 부분이다. 아래의 Error Function의 예를 보면, Single Freq.로 지정된 2Ghz에서 에러가 가장 적고 양 옆으로 갈수록 에러가 늘어나는 형상을 하고 있음을 알 수 있다.

위에서 보여지듯이 mesh 생성 특성상 높은 주파수쪽의 에러가 더 크며, Error Function 그래프가 -10dB 이상 올라가면 오차가 10% 이상 발생한다는 의미가 되기 때문에 그 주파수범위를 넘어서는 경우에는 정확도를 믿기 어렵게 된다. 지금의 그래프라면 전 대역에서 -10dB 이하의 값을 가지므로 비교적 안정된 해석이 가능했다는 의미가 된다. 만약 S 파라미터 결과 그래프가 예상한 것과 많이 다르다면, 특히 양쪽으로 갈수록 오차가 심하게 보인다면, Error Function 그래프를 한번 확인해보기 바란다. 십중팔구 중심주파수를 벗어나서 Error Function값이 급격히 증가한 경우일 것이다. Error Function값의 크고 작음은 주파수 범위의 크고 작음과 함께 해석하는 구조물의 특성과도 많은 관련이 있기 때문에, 해석 주파수 범위를 좁히거나 mesh를 늘여봄으로써 개선할 수 있다.

그렇다면 어떠한 경우에 Error Function 그래프를 확인해보아야 하는가? 기본적으로는 Fast Sweep을 했을 때마다 '항상' 확인하는 습관을 들이는 것이 좋다. 자신이 해석한 결과가 simulation 알고리즘 상에서 얼마나 정확도를 보장하는 가를 항상 확인하는 것이 차후의 잘못된 판단이나 설계를 방지할 수 있는 지름길이다. 만약 경험적으로 오차를 대략 판단할 수준이 된다면, 결과값에서 이상한 느낌이 들 때만 확인해도 좋긴 할 것이다.

Single Freq. 값의 입력

Single Freq.를 정해서 입력하다보면 가끔 이해할 수 없는 현상이 발생할 경우가 있다. 일단 아래의 표를 보고 생각해보자.

두가지 case의 계산시간에는 엄청난 차이가 있다. 이 두 case가 다른 구조물을 해석한 것일까? 놀랍게도 완전히 동일한 구조에서 단지 Single Freq. 값만 다른 경우이다! 상당히 이해하기 힘든 상황 같지만, 실제로 이런 일이 발생하기는 경우가 종종 있다. 물론 위의 예제는 운영자가 보아온 여러 상황중 의도적으로 최악의 사례를 든 것이다. 하지만 여기서 간단하게 눈치챌 수 있는 것이, Single Frequency값은 필요 이상으로 복잡한 수치를 줄 필요가 없다는 점이다.

왜 이런 상황이 발생하는가? 원인을 추적해보면 adaptive 알고리즘의 특성에 많이 기인한다. adaptive 과정에서 제일먼저 하는 작업이 Single Freq.의 1/4 파장 길이를 계산하는 것이며, 이후 모든 mesh를 나눌 때 이 값을 기준으로 점점더 세분화하게 되어 있다. 그렇다면 Single Freq.값이 소수점에서 복잡한 수치를 가지고 있다면 mesh 하나하나를 나눌 때마다 점점 더 복잡한 수치를 계산에 적용해야 하기 때문에 점점 더 복잡해진다. 이러한 문제들이 누적되어 결국 Adaptive 과정이 수렴이 잘 안되어 더욱 많은 pass를 만들어내고, 그에 따라 계산시간은 수배에서 수십배까지 늘어나기도 하는 것이다. 계산결과는 동일한데도 불구하고.

몇년전쯤에 이 문제로 Ansoft의 solver 개발자와 직접 얘기를 나눌 일이 있었는데, 이 문제는 복잡한 소수점이 많아지면서 메모리 효율이 떨어지고, trancation error가 누적되어서 발생하는 문제라는 식의 답변을 들은 적이 있다. (영어가 딸려서 더 이상은 못알아 들었음. -_-;;;) 이것은 v5.0일 때 두드러진 현상이었지만 v6.0이후부터는 내부적으로 mesh분할에서 필요이상의 소수점은 잘라내는 식으로 개선이 되어 이런 현상이 많이 줄어들었다고 한다. 하지만 이러한 소수점 문제자체는 정도의 차이가 있을 뿐 아직까지도 영향이 있기 때문에, 아무리 협대역에서 원하는 중심주파수가 복잡한 수치를 갖고 있더라고 소수점 한자리 이상의 Single Freq.를 정하는일은 없길 바란다.

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