Intermodulation의 정체

앞의 글에서 보셨듯이, RF 신호를 처리하다보면 비선형소자를 통과하면서 원래 주파수의 배수 성분인 harmonic들이 튀어나올 수 있습니다. 그 원리자체를 탐구하려면 철학적인 수준까지 들어가야 할지도 모르지만, 일단 그런 하모닉이란 것들이 발생하는구나~ 라고만 이해해도 충분합니다.

그렇다면 선형성의 가장 중요한 테마인 Intermodulation이 무엇인지 알아보지요!

 

  Intermodulation (혼변조)의 정의

앞절에서 보셨듯이, 우리가 주로 말하는 Harmonic이란 놈은 비선형 신호처리과정에서 발생하는 새끼주파수들입니다.

Intermodulation이란, 비선형 소자를 통한 RF신호처리 과정에서, 두 개의 다른 입력 주파수신호의 harmonic 주파수들끼리의 합과 차로 조합된 출력주파수 성분이 나오는 현상을 말합니다. 즉 하나의 RF신호가 처리되면서 나타나는게 아니라 두 개 이상의 주파수 신호가 동시에 처리될 때 나타나는 현상입니다. 그리고 그러한 것들은 원래 신호에 방해되는 왜곡요소로서, 그 결과물들을 우리는 흔히 IMD (Intermodulation Distortion)이라고 부릅니다.

자!!! 정의는 이렇다치고 이제부터 이 Intermodulation의 정체를 차근차근 이해해보지요!

 

  하모닉을 제거하고파...

비선형성에 의해 생겨난 하모닉들은 당연히 제거되어야 합니다. 그렇다면 어떻게 제거할까요? 다들 아시겠지만, 해당주파수만 걸러내는 BPF(Bandpass filter)를 통해 걸러 버릴  수 있습니다. 아래그림 처럼 말이죠.

그런데, 통신시스템이란게 여러 사람이 함께 사용하는거다 보니 조금씩 다른 주파수 채널을 같이 쓰게 됩니다. 또는 CDMA의 경우는 한 신호가 사용하는 주파수 폭 자체가 넓어서 실제로는 여러 주파수값들을 한꺼번에 사용하는 것처럼 되지요.

이런 점을 감안하여 두 개의 주파수 신호가 동시에 비선형 소자를 거쳤다고 생각해볼까요? 이렇게 two-tone입력을 하고나서 BPF를 거쳐 하모닉을 잘라낼 수 있겠죠. 그러나! BUT! 아래의 큰 확대그림을 보시면 아시겠지만, BPF로 분명히 two-tone 신호의 하모닉들을 제거했는데도 불구하고 BPF의 통과대역 내에 웬 보라색 주파수성분들이 남아서 낄낄대고 있는게 보이실 겁니다. 바로 이놈들이 intermodulation중에서도 가장 악질이라 불리우는 3rd IMD (IM3) 입니다.

이렇듯 Intermodulation의 결과로 나타난 놈들이 왜 문제가 돼냐면, 위의 그림에서 알 수 있듯이 BPF로 걸러내려 해도 원래 신호와 너무 가까이 붙어 있어서 잘 제거가 되지 않기 때문입니다. 결국 이 IMD 신호들은 원래 신호를 교란하고 통신을 방해하기 때문에 주요 제거 대상이 됩니다.

하모닉을 제거해도 남는, 저런 intermodulation이 발생하는 이유가 뭘까요? 일단 선형 비선형시스템의 결과차이부터 간단히 둘러봅시다.

 

  선형/비선형 시스템의 차이

선형 비선형의 문제는 다른 글에서 심도있게 다루기로 하고, 일단 시스템의 특성을 보겠습니다.
선형 시스템은 아래 그림과 같이, 두 개의 다른 주파수 성분이 동시에 들어가더라도 각각 명확히 구분되어 처리되고, 두 신호의 간섭이 없습니다. 두 개의 다른 주파수 신호가 섞여도 완벽히 구분되는 시스템, 그것이 선형 시스템/회로 입니다.`

하지만 비선형 시스템은 각각의 주파수 신호 하모닉 출력 뿐만아니라 요상한 신호들을 부가적으로 출력해버립니다. 아래 그림을 보시죠!

 

위 그림을 보면 아마 이런 생각이 들겁니다.
"그거참 비선형 시스템 출력은 참 지저분도 하여라.."

맞습니다. 비선형 시스템의 출력단은 참으로 지저분합니다. 비선형 회로나 시스템은 증폭이나 믹싱등 RF신호처리의 아주 중요한 핵심역할을 해주지만 이러한 harmonic, intermodulation같은 지저분한 떨거지를 만들어낸다는 치명적인 문제를 안고 있습니다. 원래 그런걸 어쩌랍니까..

 

  Intermodulation의 발생 원리

이러한 intermodulation이 발생하는 원리는 결국 수학적으로 분석할 수밖에 없습니다. 수식만 보면 매직아이를 보는 듯 혼미하다는 분도, 발생원리를 이해하시려면 수식을 안볼 수가 없습니다. 그나마 보는 것만으로도 대략 짐작이 되도록 수식을 전개해보도록 하겠습니다. 하모닉 설명단원에서 보셧듯이, 비선형소자의 입출력은 아래와 같이 됩니다.

이전 하모닉 설명에서는 입력신호를 하나의 주파수, x = Acosωt 로 입력한 결과를 고찰해보았습니다. 자, 그렇다면 두신호의 짝짜꿍에 의한 새끼들인 intermodulation이 수식적으로 나오게 되는지 보려면, 두 개의 주파수신호를 입력해보야겠죠? 입력에 두 개의 주파수 신호 ω1 과 ω2가 동시에 들어간다고 가정하고 계산을 해보겠습니다.

    at    

이것이 입력이라 생각하고 출력식을 계산해보면

자.. 눈으로만 봐도 대충 수식이 보이죠? 그렇다면 이 출력항의 2승, 3승 두가지만 골라서 천천히 풀어볼테니 주의깊게 그냥 들여다 보시길..


▶▶   2승째 항 (Second order)

▶▶ ▶  3승째 항 (Third order)


 ..... 3승의 삼각함수는 계산량이 많으므로 계산식은 중간생략 ... ^^;;

    

    


자... 뭐 삼각함수 공식은 정석책에 나온대로 그냥 적용하면 위와 같이 됩니다. 여기서 주의깊게 관찰해야 할 것은, 입력에 없었는데 출력에 생긴 주파수 항들입니다. 3승 이후의 항들은 값들이 너무 작아서 무시한다치고, 3승까지의 비선형 출력값에서의 특이 주파수는 아래와 같습니다.

    : 지극히 정상적인 harmonic 주파수들.
       : 2승항에서 발생한 Intermodulation 주파수
    : 3승항에서 발생한 Intermodulation 주파수

자, 비선형 소자를 동시에 통과한 두 주파수 성분은, 위와같이 하모닉끼리의 합과 차에 의한 새로운 주파수출력항인 intermodulation frequency를 만들어낸다는 것을 수식으로 확인하였습니다. 그런데 저중에 두가지 주파수 출력항이 뻘겋게 표시되어 있군요. 왜그럴까요? 후후후...

어쨋든 비선형 출력단에 저런 요상한 intermodulation현상이 일어난다는 사실을 명심하고, 그렇다면 왜 이것들이 문제인지 수치적 예와 그래프로 확인해 봅시다.

 

  Third Order IMD 의 괴로움

비선형 출력단에 이상한 조합주파수들이 튀어나오는 현상을 intermodulation이라고 한다고 하지요. 그리고 이러한 결과물 혹은 그 왜곡정도를 우리는 IMD(Intermodulation Distortion : 혼변조 왜곡)라 부르구요. 그리고 많은 분들이 3rd IMD가 가장 문제다.. 라는 얘기를 많이 들으셨을 것입니다.

여기서 Third order(3rd)의 의미는, 비선형 출력단의 3승항에서 나왔다는 의미입니다. 즉 3rd IMD란


의 IMD 주파수 성분을 의미합니다. 눈치 채셨겠지만, 이중에서 중요한 것은 특히 저 뻘건 두 개의 주파수입니다. 이것은 예를 들어 이해하는 것이 가장 빠릅니다. 일례로 비선형 입력단에 890MHz900MHz 두 개의 주파수가 입력된다고 가정하도록 하지요. 그렇다면 위의 Intermodulation 계산에서 보여진 출력주파수들을 정리하면 아래와 같습니다. (괄호안은 계산식입니다)

비선형 출력 주파수 종류

출력주파수 (단위 : MHz)

fundamental

890, 900

harmonic

1780 (2*890), 1800 (2*900),
2670 (3*890), 2700 (3*900)

2nd Intermodulation

1790 (890 + 900), 10 (900 - 890)

3rd Intermodulation

2680 (2*890 + 900), 2690 (890 + 2*900)
880 (2*890 - 900), 910 (2*900 - 890 )

이런! 빨간색으로 표시되었던 두 개의 3차 IMD 항은 880, 910MHz로서 원래 신호출력에 너무 가까이 붙어 있습니다. 바로이놈들이 맨 처음 그림에서 낄낄대며 우리들을 비웃던 바로 그놈들입니다. 이것을 그래프도표로 다시 한번 명확히 확인해볼까요?

위 그래프는 스케일이 잘 안맞긴 한데 대충 감을 잡기 위한 그림이므로 무시를.. ^.^
결국 2f1-f2, 2f2-f1의 3차 IMD 항들은 원래 신호에 가까이 붙어 버려서 필터링이 매우 어렵습니다.

 

결론

자, harmonic에서부터 차근차근 따라오신 분이라면 이제 intermodulation과 IMD가 무엇을 말하는지, 또 왜 3차 IMD가 괴로운 문제인지 이해하셨으리라 믿습니다.

이렇게 원래신호 주파수에 가까이 붙은 3차 IMD는 특히 CDMA와 같은 광대역 디지털 변조방식에서 치명타를 안겨줍니다. CDMA의 광대역채널안에서, 굉장히 많은 주파수 tone들을 한꺼번에 처리하다보면 내부적으로 수많은 3차 IMD항들이 하나의 band를 이루면서 아주 위험한 잡음군을 만들 게 됩니다. 다른 사람의 전력이 곧 자신의 잡음이 되는 CDMA 방식에서는, 이러한 3차 IMD로 인한 잡음전력들이 결국 통화용량과 품질을 크게 떨어뜨리는 요소가 되어 버리지요.

자 이제 intermodulation까지 수식적으로나 현상적으로나 대략 이해가 간다해도, 결국 도대체 선형성이란 말에 내포된 진정한 의미는 무엇인가 아직 아리까리 하지 않으십니까?

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